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     "name": "#%% md\n"
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   "source": [
    "### 函数的完整定义\n",
    "对于集合X，假定存在某种映射法则F,使得$F(X)\\subseteq Y$，则称F(X)是定义在X范围内的函数。X为定义域，F(X)为值域，Y为到达域（目标域）,F 为映射法则。\n",
    "对于函数，定义域X的任一元素均可在值域F(X)中找到唯一对应；对于值域F(X)中的任一元素，至少有一个X与之对应。\n",
    "<br>若值域F(X)中的任一元素，有且只有一个X与之对应，此时的映射称为单映射；\n",
    "<br>若值域F(X)=到达域Y，此时的映射称为满映射。\n",
    "<br>同时满足单映射与满映射的映射称为一一映射。\n",
    "<br>值域是到达域的子集，定义到达域是为了解决值域无法求解的情形。\n",
    "\n",
    "### 列秩与行秩\n",
    "对于矩阵$A=(a_{ij})_{m\\times n}$，可以表示为列向量组集合$\\{c_1,\\cdots,c_n\\}$,其中$c_i=\\left(\\begin{split}a_{1i}\\\\\\vdots\\\\a_{mi}\\end{split}\\right)$。\n",
    "列向量组的秩称为列秩，即rank(colsp(A)),其中colsp(A)是列向量组的张成空间。\n",
    "<br>同理，矩阵A亦可表示为行向量组的集合$\\{r_1^T,\\cdots,r_m^T\\}$，其中$r_i^T=\\left(\\begin{split}a_{i1}\\quad\\cdots\\quad a_{in}\\end{split}\\right)$。\n",
    "行向量组的秩称为行秩，即rank(rowsp(A)),期中rowsp(A)是行向量组的张成空间。\n",
    "<br>线性无关列向量组称为列满秩，同理，线性无关的行向量组称为行满秩。\n",
    "<br>矩阵的行秩与列秩相等，满秩矩阵必为方阵\n",
    "\n",
    "### 矩阵秩的性质\n",
    "* 矩阵$A=(a_{ij})_{m\\times n}$的秩rank(A)满足：$0\\le rank(A)\\le min(m,n)$\n",
    "* 转置变换后不改变秩。$rank(A)=rank(A^T)$\n",
    "* 复合函数的秩会缩小。$rank(AB)\\le min(rank(A),rank(B))$\n",
    "* 任意矩阵A经满秩矩阵复合后秩不变。假定P、Q是满秩矩阵，$rank(A)=rank(PA)=rank(AQ)=rank(PAQ)$\n",
    "* $rank(A+B)\\le rank(A)+rank(B)$\n",
    "\n",
    "\n",
    "### 矩阵函数的单射\n",
    "对于矩阵$A=(a_{ij})_{m\\times n}$,其列向量矩阵函数$Ax=y$的四要素为\n",
    "\n",
    "|自然定义域|映射法则|值域|到达域|\n",
    "|:-|:-|:-|:-|\n",
    "|$R^n$|A|colsp(A)|$R^m$|\n",
    "\n",
    "当定义域维度=值域维度时，列向量矩阵函数为单射。此时值域空间colsp(A)与定义域空间$R^n$一样大，定义域空间维度为n，故矩阵A为列满秩。\n",
    "\n",
    "若矩阵函数是单射，则对于值域中的任一向量，有且仅有一个定义域中的向量与之对应。而若矩阵函数是非单射，则对于值域中的任一向量，有无数个定义域中的\n",
    "向量与之对应。\n",
    "转换为线性方程语言：列向量矩阵函数为单射时(列满秩时)，有解的话只能是唯一解。\n",
    "\n",
    "\n",
    "### 矩阵函数的满射\n",
    "对于列向量矩阵函数$Ax=y$，当值域维度=到达域维度时，列向量矩阵函数为满射。此时值域空间colsp(A)与到达域空间$R^m$一样大，到达域空间维度为m，故矩阵A为行满执。\n",
    "若矩阵函数是满射，则对于值域中的任一向量，必有定义域中的向量与之对应。而若矩阵函数是非满射，则对于值域中的向量，可能存在无定义域中的向量与之对应的情况。\n",
    "转换为线性方程语言：列向量矩阵函数为满射时(行满秩时)，必定有解。\n",
    "\n",
    "### 矩阵函数的双射\n",
    "系数矩阵A必定为方阵，满足行满秩与列满秩，方程组必有唯一解。\n",
    "\n",
    "### 逆矩阵\n",
    "只有满秩矩阵才有逆矩阵，对于任意N阶满秩方阵A，存在唯一的逆矩阵$A^{-1}$，使得$A\\times A^{-1}=I$，其中I为N阶单位阵。\n",
    "\n",
    "### 逆矩阵的性质\n",
    "* $(A^{-1})^{-1}=A$\n",
    "* 对$k \\ne 0$,$(kA)^{-1}=\\frac{1}{k}A^{-1}$\n",
    "* $(A\\times B)^{-1}=B^{-1}\\times A^{-1}$\n",
    "* $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  }
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 "metadata": {
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